MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN PERBANDINGAN, FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI DAN PENAFSIRANNYA

Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai masalah yang model matematikanya memuat ekspresi trigonometri (perbandingan, fungsi, persamaan, identitas trigonometri atau penggunaan rumus sinus dan kosinus). Setelah kita tahu bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang memuat ekspresi trigonometri, maka pemecahan masalah tersebut selanjutnya diselesaikan sebagai berikut.
1. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah seperti variabel yang berkaitan dengan ekspresi trigonometri.
2. Rumuskan model matematika dari masalah-masalah yang berkaitan tersebut.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika.
4. Berikan tafsiran terhadap hasil-hasil yang diperoleh.

A. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Perbandingan Trigonometri.
Contoh soal :
Sebuah batu terletak 200 m dari sebuah gedung. Sudut elevasi antara batu dan puncak gedung tersebut adalah 30. Hitung tinggi gedung tersebut!

Pembahasan :
Dari sketsa disamping, maka :





Jadi, tinggi gedung tersebut adalah m.


Latihan 1
1). Dari atas pohon seseorang melihat benda di atas tanah dengan sudut depresi 30. Jika tinggi pohon 33 m, hitunglah jarak benda terhadap pohon!
2). Kota A berjarak 12 km dari kota B dengan arah 132. Kota C terletak 18 km dari kota A dan dengan arah 72 dari kota B. Tentukan arah tiga angka kota A dari kota C!
3). Seorang anak yang tingginya 1,5 m bermain layang-layang di tanah datar. Jika tali yang diulurkan sepanjang 100 m dan membentuk sudut 60 dengan tanah, maka tinggi layang-layang dari tanah adalah……
4). Diketahui lebar sebuah bangunan 8,4 m dan jarak atap ke langit-langit 1,2 m. Hitunglah besar sudut kemiringan atap dengan langit-langit!
5). Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung bertingkat. Dari suatu tempat yang ada di tanah, titik pangkal tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 60 dan titik ujung tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 70. Jika jarak horizontal dari titik pengamatan ke tepian gedung sama dengan 10 m, berapa meter-kah tinggi tiang bendera tersebut?

B. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Fungsi Trigonometri.
Contoh soal :
Sebuah gelombang mempunyai amplitudo 8 cm dan frekuensi 0,1 getaran per detik. Tentukan persamaan, periode, dan simpangan gelombang pada saat t = 2 detik.

Pembahasan :
- Persamaan gelombangnya adalah
y = A sin 2  f t = 8 sin 2  (0,1) t = 8 sin 0,2  t
- Periode T = = 10 detik
- Simpangan pada saat t = 2 detik
y = 8 sin 0,2  (2)
= 8 sin 1,257
= 8 (0,0219)
= 0,1752
Jadi, simpangan pada saat t = 2 detik adalah 0,1752 cm.
Latihan 2
1). Pada suatu rangkaian arus searah, kuat arus I memenuhi persamaan
I = 10 sin  t. Tentukan amplitudo dan periodenya
2). Sebuah gelombang harmonik memiliki simpangan maksimum 1 cm dan periodenya 0,2 sekon. Jika angka gelombang tersebut 2/cm dan jarak titik pada tali dari titik asal sejauh 3 cm, tentukan simpangan gelombang tersebut setelah bergetar selama 0,125 sekon.
3). Sebuah gelombang berjalan memiliki persamaan y = 0,02 sin (100t – x) dengan x dan y dalam meter serta t dalam sekon. Tentukan cepat rambat gelombang tersebut.
.

C. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Persamaan Trigonometri.
Contoh soal :
Dua pengendara sepeda berangkat dari tempat yang sama dan saling membentuk sudut 60. Jika A berkecepatan 15km/jam dan B berkecepatan 18km/jam, tentukan jarak antara keduanya setelah 2 jam perjalanan!

Pembahasan :
Setelah 2 jam maka A menempuh jarak 30 km dan B menempuh jarak 36 km.
Dari gambar tersebut maka diperoleh hubungan persamaan trigonometri :
AB2 = AP2 + BP2 – 2 . AP . BP . cos P
AB2 = 302 + 362 – 2 . 30 . 36 . cos 60
AB2 = 900 + 1296 – 2 . 30 . 36 . ½
AB2 = 1.116
AB = 631
Jadi, jarak A dan B setelah 2 jam perjalanan adalah 631 km.
Latihan 3
1). Diketahui jajargenjang ABCD dengan AB = 8 cm dan AD = 6 cm. Jika sudut BAD 60, hitung panjang BD dan AC!
2). Ali, Badu, dan Charly sedang bermain di sebuah lapangan dengan posisi Ali, Badu dan Charly membentuk sebuah segitiga. Jarak Badu dari Ali 10 m, jarak Charly dari Ali 15 m dan jarak Charly dari Badu 12 m. Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali dan Charly dalam posisi-posisi itu?
3). Berdasarkan gambar di samping, diketahui a = 5, b = 213, dan c = 9.
Hitunglah besar A!
Gbr. 3.1

4). Dalam ΔPQR, P = 48, R = 80 dan q = 20 cm. Hitung luas ΔPQR!

D. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Identitas Trigonometri.
Contoh soal :

Perhatikan gambar!
Berapa panjang p jika Dik, sin  = dan 0 <  < 90



Pembahasan :
P = cos .14
Dengan menggunakan rumus identitas, sin2  + cos2  = 1, maka :
sin2  + cos2  = 1
 cos2  = 1 - sin2 
 cos2  = 1 -
=
cos  = 
= - v
Karena 0 <  < 90 terletak di kuadran II, maka diambil cos  = .
p = cos  . 14
= . 14
= 11,2 m
Jadi, panjang p adalah 11,5 m.
Latihan 4
1). Jika diketahui tan A = dan 90 < A < 180, hitunglah:
a. sec A b. sin A
2). Sederhanakan bentuk trigonometri
3). Buktikan bahwa (sin  - cos )2 + 2 sin  cos  = 1



















Pembahasan Soal-soal

Latihan 1
1). Diketahui AB = 33 m dan B = 30
tan B =
tan 30 =
AC = 33 . tan 30
= 33 .
AC = 3
Jadi, jarak benda terhadap pohon adalah 3 m.

2). ABC = 132-72
= 60
Dengan aturan sinus:


sin C = 0,58
C = 35,5
Jurusan tiga angka kota A dari kota C = 72+180- BCA
= 252-35,5
= 216,5
3). Dik. t2 = 1,5 m
A = 60
b = 100 m
Dit. tinggi layang-layang dari tanah?


Jawab :

sin 60 = t total = t1 + t2
t1 = 100 . sin 60 = 50 3 + 1,5
= 100. ½ 3 =
= 50 3
Jadi, tinggi layang-layang dari tanah adalah m.
4). Dik. Misal lebar bangunan l dan jarak atap ke langit-langit t.
l = 8,4 m
t = 1,2 m
maka, tan  = = = = 0,29
tan  = 0,29
 = 16,17
Jadi, sudut kemiringan atap dengan langit-langit adalah 16,17

5). Misal, CD = h meter
Dalam ΔABC berlaku aturan sinus, sehingga diperoleh.

CD =

CAD = 70-60 = 10
ADC = 90-70 = 20
Substitusikan nilai-nilai di atas ke CD, diperoleh:

CD = 10,15 (teliti sampai dua tempat desimal)
Jadi, tinggi tiang bendera itu adalah CD = h = 10,15 m.

Latihan 2
1). Diketahui I = 10 sin  t
Ditanyakan amplitudo dan periodenya?
Jawab :
- Amplitudo = 10 ampere
- Pada soal di atas,  = .
Oleh karena itu, T = = 2 detik.
Jadi, periodenya adalah 2 detik.
2). Diketahui A = 1 cm
T = 0,2 sekon
f = = = 5 Hz
k = 2/cm
x = 3 cm
t = 0,125 sekon
Ditanyakan y?
Jawab :
Persamaan umum gelombang berjalan
y = A sin 2 (t + k x)
= A sin 2 (2 f t + k x)
= 1 sin 2 ((2) (5Hz) (0,125s) + (2/cm) (3cm))
= sin 2 (3,925 + 6)
= sin (62,329) = 0,89 cm
Jadi, simpangan gelombang tersebut sebesar 0, 89 cm.
3). Diketahui y = 0,02 sin (100t – x)
Ditanyakan v ?


Jawab :
y = 0,02 sin (100t – x)
y = A sin (t – kx)
frekuensi gelombang (f)
 = 100
2f = 100
f = = 50 Hz
Panjang gelombang ()
k = 1
= 1
 = = 2(3,14m) 6,28m
Cepat rambat gelombang (v)
v = f 
= (50 Hz) (6,28)
=314 m/s
Jadi, cepat rambat gelombang tersebut sebesar 314 m/s.

Latihan 3
1). BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD cos A
= 82 + 62 – 2.8.6 cos 60
= 100 – 96. ½
= 52
BD = 52 = 213
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC cos B
= 82 + 62 – 2.8.6 cos 120
= 64 + 36 - 96. (-½)
=100 + 48
= 148
AC = 148 = 237
Jadi, panjang BD dan AC berturut-turut adalah 213 cm dan 237 cm.
2). Sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan Charly adalah BAC, di misalkan besar BAC = 
Dalam ΔABC berlaku aturan kosinus, sehingga diperoleh:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC cos BAC
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC cos 
Cos =

Subtitusi nilai-nilai AB = 10, BC = 12, dan AC = 15, diperoleh :

 = 52,9
Jadi besar sudut yang di bentuk oleh Badu, Ali, dan Charly adalah BAC = 52,9.
3). Berdasarkan gambar 3.1, diketahui a = 5, b = 213, dan c = 9!
Hitunglah besar A!
Jawab :
Untuk menghitung besar A, digunakan aturan kosinus berikut:
a2 = b2 + c2 -2 bc cos A
cos A =
=
=
= =0,83
Jadi, A = 33,9
4). Diketahui P = 48, R = 80 dan q = 20 cm. Dit = Luas ΔPQR?


Jawab:
Q = 180 - (48 + 80) = 52
Aturan sinus;
r =
r = 25 cm.
Luas ΔPQR = ½ qr sin P
= ½.20.25 sin 48
= 250(0,7431)
= 185,786
Jadi, luas ΔPQR adalah 185,786 cm2.

Latihan 4
1). Jawab :
a. Dengan menggunakan rumus 1 + tan2 A = Sec2 A
1 + tan2 A = Sec2 A
 sec2 A = 1 + tan2 A
 sec2 A = 1 +
 sec2 A = 1 + =
 sec A = - atau sec A =
Jadi, 90 < A < 180 (terletak di kuadran II), diambil sec A = - .
b. Dengan menggnakan rumus kebalikan :
cos A =
Dengan menggunakan rumus perbandingan :
tan A =
 sin A = cos A . tan A
 sin A =
Jadi, sin A = .
2). Jawab:

=
=
=
Jadi, bentuk sederhana dari .
3). Jawab:
Kita ubah bentuk ruas kiri:
(sin  - cos )2 + 2 sin  cos  = sin2  - 2 sin  cos  + cos2  + sin  c0s 
= (sin2  + cos2 ) + (2 sin  cos  - 2 sin  cos )
= 1+0
=1
Ruas kiri = ruas kanan
Jadi, terbukti bahwa (sin  - cos )2 + 2 sin  cos  = 1.